Читати книгу - "Пояснюючи світ"

Місяця та прискорення тіл, що падають, доводячи в розділі XII Книги I, що сферичне тіло, утворене з частинок, кожна з яких породжує якусь силу, обернено пропорційну квадрату відстані до цієї частинки, породжує загальну силу, обернено пропорційну квадрату відстані до центра сфери.

У кінці розділу I Книги I є вельми цікава примітка, у якій Ньютон зауважує, що він більше не покладається на поняття нескінченно малих величин. Він пояснює, що «флюксії», наприклад швидкість, не є співвідношеннями нескінченно малих величин, як він описував їх раніше. Натомість він каже, що «ті граничні співвідношення, з якими величини зникають, насправді є не співвідношеннями граничних величин, а межами, до яких співвідношення величин, що зменшуються нескінченно, весь час наближаються, і до яких вони можуть підійти так близько, що їхня відмінність буде менша за будь-яке задане значення». Фактично це сучасна ідея границі, на якій сьогодні ґрунтується математичний аналіз. Натомість несучасною в «Математичних началах» є ідея Ньютона, що ці границі варто вивчати за допомогою методів геометрії.

Книга II є довгим описом руху тіл крізь рідини. Основною метою цього розгляду було вивести закони, що управляють силами опору таких тіл9. Тут Ньютон ущент розбиває теорію вихорів Декарта. Після цього він переходить до обчислення швидкості звукових хвиль. Його результат у твердженні 49 (що швидкість дорівнює квадратному кореню зі співвідношення тиску та густини) правильний лише щодо порядку величини, бо ніхто тоді не знав, як пояснити зміни температури під час розширення та стискання. Але (як і обчислення швидкості океанських хвиль) це було дивовижним досягненням: уперше в історії хтось застосував фізику, щоб надати більш-менш реалістичний розрахунок швидкості якоїсь хвилі.

Нарешті, у Книзі III «Про систему світу» Ньютон переходить до доказів зі сфери астрономії. За часів першого видання «Математичних начал» усі загалом погоджувалися з тим, що сьогодні називають першим законом Кеплера, тобто з тим, що планети рухаються еліптичними орбітами. Однак залишалося чимало сумнівів щодо другого та третього законів: що лінія від Сонця до кожної планети покриває рівні площі за рівний час і що квадрати періодів орбітальних рухів планет порівнянні між собою як куби головних осей орбіт цих планет. Схоже, що Ньютон зачепився за закони Кеплера не тому, що вони були добре обґрунтовані, а тому, що вони дуже добре підходили до його теорії. У Книзі III Ньютон зазначає, що рухи супутників Юпітера й Сатурна відповідають другому та третьому законам Кеплера; що спостережувані фази п’яти планет, крім Землі, свідчать, що ці планети обертаються навколо Сонця; що рух усіх шести планет відповідає законам Кеплера і що Місяць рухається відповідно до другого закону Кеплера[63]. Його власні уважні спостереження комети 1680 року показали, що вона теж рухалася по конічному перерізу: еліпсу або гіперболі, у всякому разі дуже близько до параболи. З усього цього (а також зі свого попереднього порівняння доцентрового прискорення Місяця та прискорення тіл, що падають, на земній поверхні) Ньютон зробив висновок про існування якоїсь центральної сили, що відповідає закону обернених квадратів, дія якої притягує супутники Юпітера, Сатурна та Землі до їхніх планет, а всі планети та комети – до Сонця. З того факту, що прискорення, породжене силою тяжіння, не залежить від природи прискорюваного тіла (планета це, супутник чи яблуко), а залежить лише від природи тіла, що породжує силу, та відстані між ними, а також із факту, що прискорення, породжене будь-якою силою, обернено пропорційне масі тіла, на яку воно діє, він зробив висновок, що сила тяжіння, що діє на будь-яке тіло, має бути пропорційна масі цього тіла, тож залежність від маси тіла в розрахунках прискорення зникає. Це створює чітку відмінність між гравітацією й магнетизмом, які дуже по-різному діють на тіла різного складу, навіть якщо вони при цьому мають однакову масу.

Далі у твердженні 7 Ньютон використовує свій третій закон руху, щоб вирахувати, як сила тяжіння залежить від природи тіла, що породжує цю силу. Уявіть собі два тіла 1 і 2 з масами m1 і m2. Ньютон показав, що сила тяжіння з боку тіла 1 на тіло 2 пропорційна m2, а сила з боку тіла 2 на тіло 1 пропорційна m1. Але згідно із третім законом ці сили рівні за величиною, а тому обидві вони мають бути пропорційні як m1, так і m2. Ньютон зумів перевірити, що третій закон справедливий у разі зіткнень, але не гравітаційних взаємодій. Як наголошував Джордж Сміт, минуло чимало років, перш ніж стало можливим підтвердити пропорційність сили тяжіння інерційній масі як тіла, що притягує, так і тіла, яке притягують. А втім, Ньютон зробив такий висновок: «Сила тяжіння є в усіх тілах усюди і пропорційна кількості матерії в кожному». Ось чому добутки доцентрового прискорення різних планет і квадратів їхніх відстаней від Сонця значно більші за добуток доцентрового прискорення Місяця і квадрата його відстані від Землі: уся річ у тім, що Сонце, яке породжує силу тяжіння, що діє на планети, значно масивніше за Землю.

Ці результати Ньютона зазвичай зводять у формулу сили тяжіння F між двома тілами з масами m1 і m2, розділеними відстанню r:

F = G × m1 × m2 / r2,

де G є універсальною гравітаційною сталою, відомою сьогодні як стала Ньютона. Ані ця формула, ані стала G у «Математичних началах» не фігурує, а навіть якби Ньютон і запровадив цю сталу, то не зумів би знайти її значення, бо не знав маси Сонця або Землі. У розрахунках руху Місяця або планет G фігурує лише як множник маси Землі або Сонця відповідно.

Навіть не знаючи значення G, Ньютон зумів скористатися своєю теорією тяжіння, щоб обчислити співвідношення мас різноманітних тіл у Сонячній системі (див. технічну примітку 35). Наприклад, знаючи співвідношення відстаней Юпітера й Сатурна від їхніх супутників та від Сонця, а також знаючи співвідношення орбітальних періодів Юпітера, Сатурна та їхніх супутників, він зумів обчислити відношення доцентрових прискорень супутників Юпітера й Сатурна в напрямку до своїх планет та доцентрових прискорень цих планет у напрямку до Сонця, а з цього обчислити співвідношення мас Юпітера, Сатурна та Сонця. Оскільки Земля також має супутник, такою самою технікою можна скористатися, щоб обчислити співвідношення мас Землі та Сонця. На жаль, хоч відстань від Землі до Місяця була добре відома з добового паралакса Місяця, добовий паралакс Сонця був замалим для вимірювання, а тому співвідношення відстаней від Землі до Сонця й до Місяця було невідоме (як ми вже бачили в розділі 7, дані, які використовував Арістарх,