Читати книгу - "Пояснюючи світ"

Зокрема, оскільки співвідношення радіусів деферента та епіциклу не змінюється, має бути збережена рівність:

rепі/rдеф = rз/rп,

де rепі та rдеф знову позначають радіуси епіциклу й деферента у схемі Птолемея, а rп та rз – радіуси орбіт планети й Землі в теорії Коперника (або те саме, що радіуси орбіт планет навколо Сонця та Сонця навколо Землі в теорії Тіхо Браге). Знову ж таки, усе сказане вище описує не те, як Птолемей дійшов своєї теорії, а лише те, чому ця теорія працювала так добре.

14. Місячний паралакс

Припустімо, що кут між напрямком до Місяця, який можна спостерігати з точки O на поверхні Землі, і напрямком до зеніту становить ζ´ (дзета штрих). Місяць рухається постійно й рівномірно навколо центра Землі, тому, використовуючи результати регулярних спостережень Місяця, можна обчислити напрямок від центра Землі C до Місяця M у той самий момент і, зокрема, обчислити кут ζ між напрямком від C до Місяця та напрямком до зеніту від центра Землі, що проходить через точку O. Кути ζ та ζ´ трохи відрізняються, бо радіус Землі rз не такий малий, як порівняти з відстанню до Місяця від центра Землі d, щоб ним можна було знехтувати. Саме з цієї різниці кутів Птолемей зумів обчислити співвідношення d/rз.

Точки C, O та M утворюють трикутник, у якому кут при вершині C дорівнює ζ, кут при вершині O дорівнює 180° − ζ´, а кут при вершині M дорівнює 180° − ζ − (180° − ζ´) = ζ´ − ζ, оскільки сума кутів будь-якого трикутника становить 180° (див. рис. 8). Ми можемо обчислити співвідношення d/rз зі значень цих кутів значно легше, ніж це робив Птолемей. Для цього ми використаємо теорему сучасної тригонометрії: у будь-якому трикутнику довжини сторін пропорційні синусам протилежних кутів (синуси розглядаємо в технічній примітці 15). Кут, протилежний відрізку СО довжиною rз, дорівнює ζ´ − ζ, а кут, протилежний відрізку CM довжиною d, дорівнює 180° − ζ´, тому:

1 жовтня 135 року Птолемей за допомогою спостереження виявив, що зенітний кут Місяця, якщо дивитися з Александрії, дорівнював ζ´ = 50°55’, а його обчислення показали, що в той самий момент відповідний кут дорівнював би ζ = 49°48´ у разі спостереження з центра Землі. Відповідні синуси цих кутів дорівнюють:

sinζ´ = 0,776 sin(ζ´ − ζ) = 0,0195.

Рис. 8. Використання паралакса для вимірювання відстані до Місяця. Тут ζ´ – кут між напрямком до Місяця в момент спостереження й вертикальним напрямком, а ζ – значення, яке мав би цей кут, якби Місяць спостерігали з центра Землі.

З огляду на це, Птолемей зумів зробити висновок, що відстань від центра Землі до Місяця в одиницях радіуса Землі дорівнює:

Цей результат значно менший за фактичне співвідношення, яке в середньому дорівнює приблизно 60. Проблема полягала в тому, що Птолемей насправді не мав точного значення різниці ζ´ − ζ, але цей результат принаймні давав уявлення про порядок величини відстані до Місяця.

У будь-якому разі Птолемей досягнув кращого результату, ніж Арістарх, який зі значень співвідношень діаметрів Землі та Місяця й діаметра Місяця та відстані до нього вивів би, що показник співвідношення d/rз лежить між 215/9 = 23,9 і 57/4 = 14,3. Але якби Арістарх використовував правильне значення приблизно в 1/2° для кутового діаметра диска Місяця, замість свого значення 2°, то отримав би в 4 рази більше значення d/rз, тобто таке, що лежить між 57,2 і 95,6. Цей діапазон саме містить справжнє значення.

15. Синуси та хорди

Математики та астрономи античності могли б багато чого зробити за допомогою такої сучасної галузі математики, як тригонометрія, яку сьогодні викладають у багатьох навчальних закладах. Тригонометрія пояснює, як обчислити співвідношення довжин усіх сторін прямокутного трикутника, з огляду на значення будь-якого його кута (крім власне прямого кута). Так, результат ділення катета, протилежного куту, на гіпотенузу дає величину, яку називають синусом цього кута. Значення синуса кута можна знайти в математичних таблицях або за допомогою калькулятора, якщо просто набрати значення кута й натиснути кнопку «sin». (Відношення катета, прилеглого до кута, до гіпотенузи є косинусом кута, а протилежного катета до прилеглого – тангенсом цього кута, але тут нам достатньо говорити лише про синуси.) Хоч в елліністичній математиці поняття синуса жодного разу не згадане, в «Альмаґесті» Птолемей усе-таки використовує пов’язану величину, відому як хорда кута.

Щоб визначати хорду кута θ (тета), накреслімо коло з радіусом 1 (у будь-яких одиницях довжини, що здадуться вам зручними), а також проведімо два радіальні відрізки від центра до окружності з кутом θ між ними. Хордою кута є довжина відрізка, або хорди, що з’єднує точки, де дві радіальні лінії перетинають окружність (див. рис. 9). В «Альмаґесті» подано таблицю хорд у вавилонській шістдесятковій системі числення з кутами, вираженими у градусах дуги, що йдуть від 1/2° до 180°. Наприклад, хорду 45° подано як 45 15 19, або, у сучасній (десятковій) системі числення,

тоді як справжнє значення становить 0,7653669…

Хорда має цілком природне застосування в астрономії. Якщо уявити, що зірки лежать на сфері з радіусом, що дорівнює 1, центром якої є центр Землі, то якщо лінії прямої видимості до двох зірок розділені кутом θ, видима відстань по прямій між цими зірками й буде хордою θ.

Рис. 9. Хорда кута θ. Коло тут має радіус, що дорівнює 1. Суцільні радіальні відрізки утворюють кут θ у центрі кола; горизонтальний відрізок, що проходить між точками перетину радіальних відрізків із колом, – хорда, а її довжина – це хорда кута θ.

Щоб зрозуміти, яке відношення ці хорди мають до тригонометрії, повернімося до рисунка, використаного, щоб визначити хорду кута θ, і проведімо відрізок (на рис. 9 – пунктирна лінія) від центра кола, який ділить хорду рівно надвоє. При цьому ми отримуємо два прямокутні трикутники, кожен із кутом при центрі кола, що дорівнює θ/2, та протилежною цьому куту стороною, довжина якої дорівнює половині хорди. Гіпотенуза кожного з цих трикутників є радіусом кола, який ми беремо