Читати книгу - "Пояснюючи світ"

як 1, тому синус кута θ/2 – у системі математичних позначень sin(θ/2) – дорівнює половині хорди θ, або:

хорда θ = 2sin(θ/2).

Отже, будь-яке обчислення, яке можна виконати за допомогою синусів, можна виконати і за допомогою хорд, хоча здебільшого воно менш зручне.

16. Горизонти

Зазвичай роздивитися навкруги на вулиці нам заважають навколишні дерева, будинки або якісь інші перепони. З вершини гори ясної днини можна побачити значно далі, але наше поле зору все ще обмежене горизонтом, за яким лінії прямої видимості закриває сама Земля. Давньоарабський астроном аль-Біруні описав розумний метод використання цього знайомого всім явища для вимірювання радіуса Землі, знаючи при цьому тільки одну відстань – висоту гори.

Рис. 10. Використання аль-Біруні горизонтів для вимірювання розміру Землі. O – спостерігач на горі заввишки h; H – горизонт, як його бачить цей спостерігач; відрізок від H до O – дотична до земної поверхні в точці H, а тому утворює прямий кут із відрізком від центра Землі C до H.

Уявімо, що спостерігач з точки O на вершині гори може бачити аж до якоїсь точки H на земній поверхні, у якій лінія прямої видимості дотична до цієї поверхні (див. рис. 10). Ця лінія прямої видимості перпендикулярна лінії, що з’єднує H із центром Землі C, тому трикутник OCH прямокутний. Лінія прямої видимості проходить нижче від горизонтального напрямку на певний кут θ, який є малим, бо Земля велика й горизонт значно віддалений. Кут між лінією прямої видимості та вертикальним напрямком униз від вершини гори дорівнює тоді 90° − θ. Тому, оскільки сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°, гострий кут трикутника в центрі Землі дорівнює 180° − 90° − (90° − θ) = θ. Прилеглий до цього кута катет CH має довжину, що дорівнює радіусу Землі r, а довжина гіпотенузи CO цього трикутника дорівнює r + h, де h – висота гори. Згідно із загальним визначенням, косинус будь-якого кута дорівнює відношенню прилеглої сторони до гіпотенузи, що в цьому випадку дає:

Щоб розв’язати це рівняння для r, зверніть увагу, що обернене рівняння таке: 1 + h/r = 1/cosθ, тому, віднявши 1 з обох частин рівняння, а потім взявши обернене значення знову, ми отримаємо:

Наприклад, на одній горі в Індії аль-Біруні знайшов кут θ = 34´, для якого cosθ = 0,999951092, а 1/cosθ − 1 = 0,0000489. Отже,

r = h/0,0000489 = 20450 h.

Аль-Біруні повідомив, що висота тієї гори становила 652,055 ліктя (зі значно більшою точністю, ніж він міг би якось досягти), що тоді насправді дає r = 13,3 млн ліктів, при тому, що сам він наводить результат у 12,8 млн ліктів. Чому аль-Біруні помилився, мені не відомо.

17. Геометричне доведення теореми про середній градус швидкості

Припустімо, що ми будуємо графік зміни швидкості залежно від часу за рівномірного прискорення (швидкість – по вертикальній осі, а час – по горизонтальній). Цей графік буде представлений прямою лінією, що зростає від нульової швидкості в нульовий час до кінцевої швидкості в кінцевий час. У кожен дуже малий проміжок часу пройдена відстань є добутком швидкості в цей момент часу (якщо цей проміжок часу достатньо короткий, то швидкість змінюється на мізерно малу величину) на тривалість цього часового проміжку. Тобто пройдена відстань дорівнює площі вузького прямокутника, висотою якого є висота графіка в цей момент часу, а шириною – цей дуже малий часовий проміжок (див. рис. 11a). Ми можемо заповнити площу під графіком від початкового до кінцевого часу такими вузькими прямокутниками, і тоді загальна пройдена відстань дорівнюватиме загальній площі всіх цих прямокутників, тобто площі під графіком (див. рис. 11б.)

Рис. 11. Геометричне доведення теореми про середній градус швидкості. Похила лінія – це графік зміни швидкості залежно від часу для тіла, що рівномірно прискорюється зі стану спокою: a) ширина маленького прямокутника – це короткий часовий проміжок; його площа близька до відстані, пройденої тілом за цей проміжок; б) час упродовж періоду рівномірного прискорення, розбитий на короткі проміжки; у міру збільшення кількості прямокутників сума їхніх площ стає дедалі ближчою до площі під похилою лінією; в) площа під похилою лінією дорівнює половині добутку витраченого часу на кінцеву швидкість.

Звісно, якими б вузькими ми не зробили прямокутники, лише наближено можна сказати, що площа під графіком дорівнює загальній площі цих прямокутників. Але ми можемо зробити ці прямокутники наскільки завгодно вузькими, а отже, зробити наближення наскільки завгодно хорошим. Уявивши нескінченну кількість нескінченно вузьких прямокутників, ми можемо дійти висновку, що пройдена тілом відстань дорівнює площі під графіком зміни швидкості залежно від часу.

Ці міркування не змінилися б і тоді, якби прискорення не було рівномірне і графік не був би прямою лінією. Фактично ми щойно вивели фундаментальний принцип інтегрального числення: якщо побудувати графік зміни в часі будь-якої величини, то зміна цієї величини за будь-який часовий проміжок дорівнює площі під кривою в межах цього проміжку. Але для рівномірної зміни величини, як за рівномірного прискорення, цю площу можна обчислити за простою геометричною теоремою.

Ця теорема говорить нам, що площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку довжин двох сторін, прилеглих до прямого кута, тобто сторін, що не є гіпотенузою. Це випливає одразу з того факту, що ми можемо звести два такі трикутники разом, щоб утворити прямокутник, площа якого є добутком довжин двох його сторін (див. рис. 11в). У нашому випадку двома сторонами, прилеглими до прямого кута, є кінцева швидкість та загальний витрачений час. Пройдена відстань є площею прямокутного трикутника з такими вимірами або половиною добутку кінцевої швидкості на загальний витрачений час. Але оскільки швидкість збільшується від нуля з постійним темпом, її середнє значення дорівнює половині її кінцевого значення, тому пройдена відстань дорівнює середній швидкості, помноженій на витрачений час. У цьому й полягає теорема про середній градус швидкості.

18. Еліпси

Еліпс – це певний різновид замкненої кривої на плоскій поверхні. Є як мінімум три різні способи чітко описати таку криву.

Визначення перше

Еліпс – це набір точок на площині, який задовольняє умови рівняння:

(1)

де x – відстань від центра еліпса будь-якої точки на еліпсі